研究成果

近期，我校数学学院田守富教授与青年教师杨金杰、李志强在国际顶级数学期刊《Advances in Mathematics》上发表题为《The modified Camassa-Holm equation with nonzero background: Soliton resolution conjecture and asymptotic stability of N-soliton solutions》的长篇学术论文（共97页）。在该论文中，作者发展反散射理论结合Dbar问题解决了有限密度初值下修正Camassa-Holm（CH）方程解的长时间渐近行为，证明了著名的孤子分解猜想和解决了N孤子解的渐近稳定性难题，为研究负阶可积系统有限密度初值问题提供了理论框架。

Advances in Mathematics创刊于1961年，是中国数学会认定的数学类T1期刊，中科院SCI期刊分区1区TOP期刊，该期刊致力于发表数学各领域具有突破性的重要成果，是业内公认的数学类顶级期刊。此次论文的成功发表，标志着我院在可积系统领域取得了新的重要突破。

孤子分解猜想源于二十世纪60年代Zabusky和Kruskal在KdV方程中观察到的实验现象。该现象深刻揭示了非线性波动方程的动力学行为，自此持续吸引数学与物理领域的广泛关注，包括菲尔茨奖得主陶哲轩在内的众多著名学者均投身相关研究。学界普遍认为，孤子分解猜想可描述为：在适定性与时间充分大的条件下，非线性色散方程的解可分解为有限个孤子与辐射部分。然而，对于绝大多数色散方程而言，该猜想仍属公开难题。

本研究通过创新性地发展非线性速降方法与Dbar问题，成功攻克了修正CH方程在非零边界条件下Cauchy问题的孤子分解猜想。论文首先建立了初值条件与反射系数之间的严格映射关系，并系统论证了该映射在相应函数空间中的良好性质。在此基础上，论文刻画了该方程初值问题的渐近机制，建立了四个具有不同稳态相位点的渐近区域，为长期行为分析提供了清晰的结构框架。基于此前提，首次严格证明了在给定加权Sobolev空间中的初值条件下，当时间趋于无穷时，修正CH方程的解可分解为：N孤子解、具有t^-1/2衰减阶的主导辐射项，以及指数衰减的误差项O(t^-3/4)。这一结果不仅完全证实了该情形下的孤子分解猜想，更以量化的方式揭示了辐射部分的衰减规律与误差控制，是这项工作的主要特色和创新。

此外，研究进一步建立了对应N孤子解的渐近稳定性理论。该成果不仅彻底解决了修正CH方程在这一经典问题上的理论难题，也为相关可积系统与非线性波动方程的动力系统理论奠定坚实的分析基础。