图1：网络结构复杂性与时延效应协同塑造振荡的切变

图2：不同相互作用类型下的复杂性–时延临界曲线

图3：硬件仿真平台观测到复杂性与时延驱动的振荡切变

近日，《国家科学评论》（National Science Review）在线发表了我校数学学院孙永征教授课题组的研究成果。论文题为“Complexity and delay shape oscillatory transitions in complex networks”（复杂性与时延效应协同塑造复杂网络系统中的振荡切变）。研究揭示了网络结构复杂性、时延效应与相互作用类型可共同塑造复杂网络中振幅死亡与持续振荡之间的切变。

振荡广泛存在于生物、物理和社会经济系统中，是维持复杂系统正常功能的重要动力学现象。然而，异常增强或受到抑制的振荡也可能导致系统功能失调。复杂网络中的振荡行为不仅取决于单个节点的动力学，还受到网络规模、网络连通性、相互作用强度、相互作用类型以及信息传播时延等多重因素影响。然而，网络结构复杂性与时延效应如何共同影响振荡的涌现，以及不同相互作用类型如何进一步调控这一过程，仍缺乏系统认识。

针对这一问题，研究团队建立了新的理论分析框架，揭示了结构复杂性、时延效应与相互作用类型如何共同决定系统在振幅死亡态和振荡态之间切变的机制。论文以经典的 Stuart–Landau 振子网络为研究对象，建立了网络结构复杂性与临界时延之间的定量关系。结果表明，网络复杂性越高，触发振荡所需的时延通常越小；当网络复杂性超过一定阈值后，即使不存在时延，系统也能产生持续振荡，如图1所示。这一结果揭示了网络结构复杂性与时延效应之间的协同作用，为预测复杂系统中振荡的涌现提供了理论依据。

研究进一步比较了随机、混合、合作和竞争相互作用下的振荡切变。结果表明，不同相互作用类型对应不同的复杂性—时延切变边界，如图2所示。其中，合作相互作用的临界复杂性最低，在较低复杂性下即可产生持续振荡；混合、竞争和随机相互作用则需要更高的临界复杂性。这说明，相互作用类型不仅影响网络结构，还会改变结构复杂性与时延共同驱动振荡切变的临界条件。

为检验理论预测，研究人员搭建了一个由微控制器和电子电路组成的数字—模拟混合硬件仿真平台，见图3。微控制器负责更新振子网络状态，H桥驱动和采样电路则将其转换为可测量的电压信号。实验测得的电压波形再现了理论预测的振幅死亡—持续振荡切变。理论分析与硬件测量结果的一致性，进一步表明所揭示的复杂性—时延切变规律在硬件实现条件下仍具有良好的鲁棒性。

该研究揭示了网络结构复杂性、时延效应与相互作用类型协同塑造振幅死亡—持续振荡切变的内在机制，为理解复杂系统中振荡状态的产生与切变提供了新的视角。建立的结构复杂性-时延临界关系，也为研究网络结构与时延效应协同作用下的集体动力学提供了理论参考。

数学学院青年教师肖瑞博士为论文第一作者，博士生韩金亮作为主要作者参与该项研究，孙永征教授为论文通讯作者。该成果由我校教师联合复旦大学、东南大学以及牛津大学等国内外高校研究人员共同完成。研究得到国家自然科学基金、江苏省自然科学基金、中央高校基本科研业务经费等项目支持。