研究成果

近期，我校数学学院田守富教授带领他的在读博士生吴志佳与日本早稻田大学教授Tohru Ozawa合作，在国际顶级数学期刊《Mathematische Annalen》上发表题为《Orbital stability of dark solitons for the modified Korteweg-de Vries hierarchy with nonzero boundary conditions》的学术论文。在该论文中，作者发展了估计整个方程族散射数据的谱分析方法，解决了非零边界条件下modified Korteweg-de Vries（mKdV）方程族暗孤子解的轨道稳定性问题。特别地，该论文将稳定性结果推广至整个可积方程族，为研究其他可积方程族的稳定性理论奠定了理论基础。

Mathematische Annalen创刊于1868年，著名数学家克莱因、希尔伯特曾先后担任主编，著名物理学家爱因斯坦也曾担任编委并发表论文，是中国数学会认定的数学类T1期刊，该期刊致力于发表纯数学和应用数学所有分支的最高质量的研究成果期刊，被数学界公认为国际顶级期刊。此次论文的成功发表，标志着数学学院在可积系统领域取得了新的重要突破。

孤子解作为一种特殊的波动解，广泛出现在多种非线性系统中，如流体力学、光学和凝聚态物理等领域。孤子解轨道稳定性研究的是孤子解在受到微小扰动后，孤子形状、速度和位置的保持能力。它反映了孤子解在时间尺度上对扰动的抵抗能力，为实现孤子在实际应用中的有效控制提供了理论基础。作为研究非线性波动方程的核心课题，轨道稳定性的研究受到了菲尔茨奖获得者PL Lions、著名数学家W Schlag等人的广泛关注。

反散射理论将解与具有良好时间演化性质的散射数据一一对应。在可积方程族中，不同方程具有相似的空间谱结构，这使得研究整个方程族解的轨道稳定性成为可能。本研究创新性地发展了反散射理论，提出了一种有效的谱分析方法来估计整个方程族散射数据的时间演化性质，确定了扰动后初值对应的离散谱存在且唯一，并且只会分布在原离散谱的邻域内。统一估计了初值扰动对Jost解和散射数据的影响，将反射系数用初值扰动的误差来控制，从而证实微小扰动产生的连续谱对解的影响是微弱的。通过重构公式与对Marchenko方程的严格分析，将这些散射数据的估计还原回对解的控制，最终成功证明了整个方程族中暗孤子解的轨道稳定性。

该成果不仅彻底解决了整个可积方程族轨道稳定性的理论难题，其关于初值扰动的完整谱分析框架也为其他相关可积方程族的稳定性理论以及初值问题研究奠定了坚实的分析基础。